為什么電容、電感的阻抗表達式要用虛數？

為什么在傅立葉變換中要有虛數？

為什么在濾波器的傳遞函數中會(huì )出現虛數？

最初遇到“虛數”的概念是在高中數學(xué)中，我大概將它看成一維（實(shí)數）到二維的擴展。書(shū)上也就是畫(huà)成兩個(gè)坐標軸來(lái)表示復數嘛。那么，為什么只有一個(gè)虛數單位i, 沒(méi)有再定義一個(gè)更高級的復數來(lái)描述三維空間呢？從來(lái)沒(méi)想過(guò)。

大學(xué)學(xué)了高等代數，補充了復數域，多項式這些知識后大概知道為什么要發(fā)明出復數來(lái)補充實(shí)數的不足了。至于維數的擴展，也不是復數的用途。再后來(lái)，學(xué)了傅立葉變換之后，我對為什么要用復數來(lái)表示信號仍然沒(méi)有理解。數學(xué)上這沒(méi)有問(wèn)題，數學(xué)是對世界的一種描述，是抽象出來(lái)的，又如直線(xiàn)、空間等等概念也是抽象出來(lái)的。但現實(shí)世界里面的物理量，電流電壓都是實(shí)際存在的，哪來(lái)的虛部呢（別扯到量子物理，不在電子工程討論范圍）？更后來(lái)修《小波分析》課的時(shí)候，有個(gè)同學(xué)在課間問(wèn)了這個(gè)問(wèn)題，老師說(shuō)的是“采兩個(gè)信號”的意思?？墒?，畢竟復信號和二維信號不是一個(gè)處理方法呀。

自學(xué)了些電路基礎，我才發(fā)現在電路里面用虛數是提供了很大的方便。如果不用虛數，就沒(méi)法對電容、電感使用歐姆定律了。

借用了虛數，將電感、電容中的電抗成分（就是和純電阻不一樣的那個(gè)交流特性）計成歐姆單位

然后，歐姆定律、戴維南定理等等都可以照樣用了，甚是方便，只不過(guò)把電壓、電流也要換成復數了。

什么，電壓能有個(gè)虛部？示波器能看到這個(gè)虛部嗎？

反過(guò)來(lái)看，若不引入虛數的話(huà)，怎么處理電路中的電感和電容呢？那必然是要使用微分方程、積分方程來(lái)表達電壓和電流的關(guān)系。的確不方便啊，求解穩態(tài)電路這樣就費太多工夫了。借助拉普拉斯變換工具，看輸入和輸出關(guān)系的話(huà)，就又出來(lái)虛數了。

交流電是隨時(shí)間變化的，若用正弦函數來(lái)表達，u=Asin(ωt+θ) 就包含了幅度、頻率和相位三個(gè)量。電容和電感會(huì )改變交流電的相位，因此在分析頻率特性的時(shí)候，僅用幅度描述是不夠的。虛數因為可以表示為幅值和相角的形式，剛好可以刻畫(huà)交流電輸入和輸出的關(guān)系。

說(shuō)到底，這還是一個(gè)數學(xué)工具在解釋世界。正弦波就正弦波嘛，一定要虛數么？Euler公式

看起來(lái)很漂亮，但是對交流信號，那個(gè)憑空整出來(lái)的虛部又是什么意思？電場(chǎng)能是實(shí)部，磁場(chǎng)能是虛部？不對。

畢業(yè)數年以后，我對這個(gè)疑問(wèn)的解釋是如下這樣：

世界有兩種最基本的運動(dòng)形式：一種是勻速直線(xiàn)運動(dòng)，一種是勻速圓周運動(dòng)（轉動(dòng)）。轉動(dòng)就有了半徑、周期。如果認為勻速直線(xiàn)運動(dòng)是一種恒定狀態(tài)，那么勻速轉動(dòng)也屬于恒定的——周而復始，你只要知道了它的無(wú)限短的一段時(shí)間的運動(dòng)，就能知道它的過(guò)去和未來(lái)。

也就是說(shuō)，一個(gè)單一頻率的信號是可以用一個(gè)恒定轉速的圓周運動(dòng)來(lái)代表的。在平面上看這個(gè)圓周運動(dòng)，它的軌跡是一個(gè)圓。

如果增加一個(gè)時(shí)間維度，想象一下，看起來(lái)是什么樣子？

一圈一圈的螺線(xiàn)，對了吧，沿著(zhù)時(shí)間軸方向的。再側過(guò)來(lái)一些看，更清楚一點(diǎn)：

再換個(gè)角度：

當垂直于時(shí)間軸去“看”這個(gè)圓周運動(dòng)的時(shí)候，看到什么呢？

正弦型??！換個(gè)角度也可以看到是這樣的：

注意，正弦函數的相位發(fā)生了變化。

當我們觀(guān)察到一個(gè)正弦形的信號（電壓、電流，也可以是其它的物理量），所觀(guān)察到的認為是它的實(shí)部。假設（用腦補一下）這個(gè)信號其實(shí)是一個(gè)在轉動(dòng)的信號，它還有一個(gè)對應的虛部看不見(jiàn)。正弦信號經(jīng)過(guò)一個(gè)線(xiàn)性系統（黑盒子）出來(lái)之后，除了轉動(dòng)半徑（幅度）可能發(fā)生改變外，轉角也會(huì )發(fā)生偏移，于是被我們觀(guān)察到的波形也產(chǎn)生了相位差。隨著(zhù)我們觀(guān)察角度的不同，初始相位也可以不同，但是輸入和輸出的相位差是穩定的。

總結：能夠被觀(guān)察到的信號是實(shí)的，然而在補充了一個(gè)不存在的虛部之后，信號從來(lái)回振蕩的形式變成了更簡(jiǎn)單更基本的圓周運動(dòng)。復雜的信號也可以分解為很多乃至無(wú)窮多個(gè)圓周運動(dòng)的疊加，我們總是從某個(gè)固定的角度去觀(guān)察的。在描述兩個(gè)同頻的圓周運動(dòng)的相對關(guān)系（比如輸入和輸出）時(shí)，使用虛數可以更方便地表達幅度和相角的差異。